Нарисовать квадрат с клетками



  •  

                  Исследование одной задачи

    Квадраты на клетчатой бумаге

    ХАФИЗОВ ДАНИЯР

    Республика Татарстан, Тукаевский район, село Кузкеево,

    МБОУ «Кузкеевская СОШ», 6 класс

    Научный руководитель: Мингалимова Резеда Рашитовна

    2014

    Оглавление.

    1.Введение................................................................................................................................3

    2.Площади «прямых квадратов»............................................................................................4

    3.Теорема Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников......................4

    4. Площадь «светлого» квадрата............................................................................................5

    5. Заключение..........................................................................................................................6

    Введение.

    Задача взята из упражнения  замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаге квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Задачи на нахождение площадей квадрата, прямоугольника, а так же прямоугольного треугольника решаются в начальных классах. В данной работе ученик рассматривает квадраты, вершины которых лежат в вершинах клеток, площади которых 1, 2, 4, 8, 9, 13, 25, 26 клеток. При исследовании использовал факты, изложенные в теореме Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников, для прямоугольных треугольников. План работы:

    C:\UsersB631\AppData\Local\Temp\Bonus.SSR10\media\image1.jpeg

    Цель нашей работы – выявить, квадраты какой площади можно квадрат так построить, а какой – нельзя.

    Основная часть.

    Задача. Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.)

     Для начала попробуем нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.

    1. Квадраты нарисованы прямо:

    Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1клетке.

    Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.

    Немного усложним задачу.

    Нарисовать квадрат, площадь которого 2, 8, 13, 26 клеток.

    Рассмотрим частный случай. Составим мозаику из цветных и светлых треугольников.  Для первого случая возьмем прямоугольные, равнобедренные треугольники. Достаточно взглянуть на мозаику и убедиться: S=c2, где c2=2a2.Квадрат, построенный на длинной стороне содержит 4 треугольника, а на каждой из равных сторон построен квадрат, содержащий 2 треугольника.

    C:\Users\Резеда\Pictures\MP Navigator EX14_01_20\теорема пифагора_0003.jpg

    Для доказательства общего случая возьмем квадрат со стороной а+b и изобразим четыре прямоугольных треугольника со сторонами a и b, как показано на рисунке 1. «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, чтобы найти площадь квадрата со стороной с,  надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые. Если расположить эти треугольники, как показано на рис.2, то получится два квадрата, стороной a и b. Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади квадрата со стороной с, потому что это площадь большого квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.

    Значит,

    S=a2+b2.

    Если сторону «светлого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2.(рис.1), что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

    Можно нарисовать квадрат, площадь которого 2, так как 2=1+1.

    Если площадь равна 8, то a= 2, b=2.

    Какими же числами нарисовать квадрат с клетками может выражаться площадь «светлого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,

    13=4+9

    20=16+4

    26=1+25

    50=25+25.

    Заключение.

    Мне интересно было исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Например, число31нельзя представить в виде суммы квадратов целых чисел. Оказывается, все простые числа, кроме 2, представимые в виде а2 + b2, представимы в виде 4п + 1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4п + 1, представимы в виде а2 + b2. Но это другая исследовательская работа. 

    Список использованной литературы.

    1. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.:Педагогика, 1989. -352 с.: ил.
    2. Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих.- М.: МЦМНО, 2013.- 120 с.
    3. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н.«Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008.

    Источник: http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/01/01/issledovanie-odnoy-zadachi-kvadraty-na-kletchatoy-bumage



    Рекомендуем посмотреть ещё:


    Закрыть ... [X]

    Постройте на бумаге в клетку квадраты, площади которых - Рисованные русский шрифты

    Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками Нарисовать квадрат с клетками